Question

数列an中,a1=2/3,a(n+1)=2an/an+1,求an及数列{n/an}的前n项和

Answer 1

解：1/a(n+1) =(an + 1)/2an=1/2an+1/2
利用待定系数法；
设 1/a(n+1)+p=(1/2)*[ 1/an+p]
还原回去与已知相等，得到：-p/2=1/2 p=-1
所以数列 {1/a(n+1)-1} 是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列
1/an - 1=(1/2)^n
1/an =(1/2)^n+1
n/an=n(1/2)^n+n
和很简单，两个数列和 一个是等差比数列和s1，一个是等差数列和s2
s1=Σ n(1/2)^n =1*（1/2）+2*（1/4）+3*(1/8)+……n(1/2)^n-------------------①
两边同时×1/2
(1/2)s1=1*（1/4)+2*（1/8）+3*(1/16)+……n(1/2)^(n+1)---------------------------②
①式减去②式
(1/2)s1=（1/2）+（1/4）+(1/8)+……(1/2)^n
s1=2-(1/2)^（n-1）
s2=（1+n）n/2
所以原题=2 - (1/2)^（n-1）+（1+n）*n/2 n∈N*