Question

如图，在边长a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD边上异于A,D两点的动点，F是CD边上的动点，且满足AE+CF=a。

如图，在边长a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD边上异于A,D两点的动点，F是CD边上的动点，且满足AE+CF=a。
试探索：不论E、F怎样移动，△BEF总是怎样的三角形？并证明你的猜想

Answer 1

解：猜想：△BEF是等边三角形
证明：连接BD
∵四边形ABCD是菱形
∴BD平分∠ADC
∵∠DAB=60°
∴∠ADC=120°，∠EDB=120°/2=60°
∵AE+CF=a
又∵AE+ED=a
∴CF=ED
同理，AE=DF
∵AD=AB，∠DAB=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD
∴△ABE≌△DBF
∴EB=FB，∠ABE=∠DBF
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°
∴△EBF是等边三角形

Answer 2

等边三角形
链接BD，过E作EG∥DB交AB于G
因为AE+CF=a，结合菱形相关条件，可得三角形AEB≌DFB（AE=DF,AB=DB,∠BAE=∠BDF=60°，边角边），那么EB=FB，
同样，三角形EGB≌三角形FDE（EG=AE=DF,GB=DE,∠EGB=∠FDE=120°），所以EF=BE,
所以是正三角形

Answer 3

如图，在边长a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD边上异于A,D两点的动点解：连BD, 因为在边长a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，所以∠ADB=∠C=60°

Answer 4

没图