Question

｛根号x -（1/(2乘以立方根x）｝的10次的展开式中，系数的绝对值最大项为？系数最大的项？系数最小的项？

｛根号x -（1/(2乘以立方根x）｝的10次的展开式中，系数的绝对值最大项为？系数最大的项？系数最小的项？

Answer 1

二项式展开通式为：(a+b)^n=ΣC(n,k)*a^(n-k)*b^k (k=0->n)
第k+1项的通式为：Tk+1=C(n,k)*a^(n-k)*b^k
对于你的式子，a=√x=x^1/2，b=-1/(2x^(1/3))=-1/2*x^(-1/3)，n=10
代入通式得，Tk+1=C(10,k)*(x^1/2)^(10-k)*(-1/2*x^(-1/3))^k (k=0->10)
=(-1)^k*2^(-k)*C(10,k)*(x^[5(1-k/6)] (k=0->10)
系数项为：Ak+1=(-1)^k*2^(-k)*C(10,k)=(-1)^k*2^(-k)*10!/[k!(10-k)!]
系数绝对值最大时，2^(-k)*C(10,k)最大
∵0<2^(-k)≤1，且随k增大而减小；而C(10,k)随k增大先增大后减小
∴2^(-k)*C(10,k)的值也是先增大后减小，故其最大值只可能在C(10,k)的最大值之前
C(10,k)的最大值为 C(10,5)=10!/[5!*5!]=252，∴2^(-5)*C(10,5)=252/2^5=63/8
又C(10,4)=10!*[4!*6!]=210，2^(-4)*C(10,4)=210/2^4=105/8
C(10,3)=10!*[3!*7!]=120，2^(-3)*C(10,3)=120/2^3=120/8
C(10,2)=10!*[2!*8!]=45，2^(-2)*C(10,2)=45/2^2=90/8
∴系数绝对值最大项为第4项：A4=(-1)^3*2^(-3)*C(10,3)=-120/8
因第4项绝对值最大，又为负数，故系数最小的项为第4项
系数最大的项必为正数，且在第4项附近，由上述计算可知，绝对值仅次于第4项的为第5项
而其符号系数(-1)^4=1>0，∴系数最大的项为第5项，A5=105/8

希望对你有帮助

Answer 2

太难输入了，讲一下思路，把所有项写成分数指数形式，然后按公式写出第r+1项=C(10,r)*2的10-2r次幂*（-1）的10-r次幂*x的负三分之一r次幂，最后再分析可知，当r=2时，系数的绝对值最大，系数也是最大，r=1时，系数是负数，最小。