Question

复变函数问题，紧急求助（明天早上要考）第二题

复平面内有四点z1,z2,z3,z4，四点共圆，证明（z1-z3)(z2-z4)/(z1-z4)(z2-z3)的虚部是零

Answer 1

记（z1-z3)(z2-z4)/(z1-z4)(z2-z3)为(z1,z2,z3,z4)，因为Arg(z1,z2,z3,z4)=Arg[(z1-z3)/(z1-z4)]-Arg[(z2-z3)/(z2-z4)],如果四点位于同一个圆上，则上式等于0或pi或-pi(可画图视之).从而得知
sin[(z1,z2,z3,z4)]=0，即（z1-z3)(z2-z4)/(z1-z4)(z2-z3)的虚部是零.

Answer 2

证明：不妨设这四点为ABCD,A点为z1,B,z1;C,z3;D,z4
（z1-z3)/(z1-z4)=|AC|/|BC| e^(j(-角DAC))
(z2-z4)/(z2-z3)=|BD|/|BC| e^(j(角DBC))
=>（z1-z3)(z2-z4)/(z1-z4)(z2-z3)=|AC|/|BC| e^(j(-角DAC))*|BD|/|BC| e^(j(角DBC))
又z1,z2,z3,z4，四点共圆=>角DAC=角DBC
=>（z1-z3)(z2-z4)/(z1-z4)(z2-z3)=|AC|/|BC|*|BD|/|BC|
虚部为0
证毕