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不成立的例子如下。
定义f(x)如下
f(x)=1 若 x>=0
f(x)=-1 若 x<0
则|f(x)|=1
在x=0处|f(x)|连续，但f(x)显然不连续。
定义f(x)如下
f(x)=1 若 x>=0
f(x)=-1 若 x<0
则|f(x)|=1
在x=0处|f(x)|连续，但f(x)显然不连续。
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单调。
证明：（反证法）
假设f(x)在[a,b]在不单调，即函数必有增有减，且函数连续
则至少存在x1属于[a,b],x2属于[a,b]，且x1不等于x2，使得：
c=f(x1)=f(x2);
设f(x)的反函数为g(x)，则依据定义有
g(c)=x1和g(c)=x2
即x1=x2,此与前面的“x1不等于x2”相矛盾，
故假设不成立，f(x)单调
证明：（反证法）
假设f(x)在[a,b]在不单调，即函数必有增有减，且函数连续
则至少存在x1属于[a,b],x2属于[a,b]，且x1不等于x2，使得：
c=f(x1)=f(x2);
设f(x)的反函数为g(x)，则依据定义有
g(c)=x1和g(c)=x2
即x1=x2,此与前面的“x1不等于x2”相矛盾，
故假设不成立，f(x)单调
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