Question

若函数f(x)=(a*2的x次方+a-2)/(2的x次方-a)为奇函数，求实数a的值

Answer 1

f(x)=(a*2^x+a-2)/(2^x-a)
那么f(-x)=[a*2^(-x)+a-2]/[2^(-x)-a]
=[a+a*2^x-2^(x+1)]/(1-a*2^x)
=-f(x)
然后把f(x)表达式代入，得到一个含有x和a的方程。
该方程应为恒等式，所以2^x系数为0并且常数项也为0，从而计算出a的值

额。。我就没继续往下算，思路很明确了哈~

追问

f(x)=(2^x+a)/(2^x-a)=1+2a/(2^x-a)
因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)
f(-x)=(2^(-x)+a)/(2^(-x)-a)
=(1+a2^x)/(1-a2^x)
=-1+2/(1-a2^x)
=-f(x)
=-1+2a/(a-2^x)
所以得：
a/(a-2^x)=1/(1-a2^x)
a-a^2*2^x=a-2^x
(a^2-1)2^x=0
因为2^x≠0,所以a^2-1=0，得a=±1
可是答案是1啊

追答

啊。。sorry，我忘了考虑一个事，就是奇函数对于x=0如果有定义，那么一定f(0)=0，所以可以排除-1~

追问

什么意思不明白啊在哪填这步

追答

额。。直接按下面来就行，就是这么写，
因为f(x)在x=0有意义，所以有f(0)=0。
又f(0)=(a-2)/(-a)，所以(a-2)/(-a)=0。
解得a=1

追问

不好意思啊，怎么知道f(x)在x=0有意义的还有-1怎么不见了

追答

啊。。没事没事、。、是我开始脑残了。。。

x=0处有意义可以直接写。如果要思考过程的话，可以看到f(x)是由2^x复合而成的，x=0时，2^x显然有意义。然后再看f(x)的分母，x=0时，不会导致分母为零，所以就是有意义。（如果f(x)含有根式，那么就判断根式下是否为负，如果是对数形式，那么看真数是否为正，道理都是一样的~）

因为题目已知f(x)为奇函数，所以以下解法
“因为f(x)在x=0有意义，所以有f(0)=0。
又f(0)=(a-2)/(-a)，所以(a-2)/(-a)=0。
解得a=1”
中每一步都是可以推出的，也就是充分的，所以就可以直接得出答案。。

那个a=-1的解，无视吧。。。