Question

急！！！高中数学已知f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax-2。

已知f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax-2。
1、求函数f(x)[t,t+1](t>0)上的最小值
2、存在x0€[1,e]使得f(x0)>=g(x0)成立,求实数a的取值范围

Answer 1

①f'(x)=(xlnx)'=lnx+1
当x在（1/e，无穷大）内，lnx+1>0,即f(x)，单调增加；之外时，单调递减；
当1/e<t时，最小值为f(t)=tlnt，当t<1/e-1时，最小值为f(t+1)=（t+1）ln（t+1），当1/e>t>1/e-1时,最小值为f(1/e）=-1/e。
② 由第一问可知，当x€[1,e]时，最小值为f(1)=0，所以只要让g(x)的最大值小于零即可；
g(x)=-x^2+ax-2，导函数为g'(x)=-2x+a，令g'(x)=0，可得x=a/2
讨论：
当a/2<1,即a<2时，x€[1,e]时，g(x)单调递增，最大值为g(e)=-e^2+ae-2<=0得a<=e+2/e;
当a/2>e,即a>2e时，x€[1,e]时，g(x)单调递减，最大值为g(1)=a-3<=0得a<=3;
当1<a/2<e,即2<a<2e时，x€[1,a/2]时，g(x)单调递减，x€[a/2,e]时，g(x)单调递增；
g(1)=a-3，g(e)=-e^2+ae-2，得a<=e+2/e;
最后答案自己整理

Answer 2

①由f'(x)=(xlnx)'=lnx+1＝0得驻点x=1/e，当x<1/e时，f'(x)<ln(1/e)+1=0，
f(x)在(0,1/e]上是减函数；x>1/e时，f'(x)>ln(1/e)+1=0，f(x)在[1/e, +∞）上是增函数；
若t+2<1/e，则f(x)min=f(t+2)=(t+2)ln(t+2);
若t>1/e，则f(x)min=f(t)=tlnt;
若t<1/e<t+2，则f(x)min=f(1/e)=(1/e)ln(1/e)= -1/e
②
xlnx≥ -x^2+ax-2恒成立，则a≤x+lnx+(2/x)恒成立。设h(x)=x+lnx+(2/x)，
由h'(x)=1+1/x-(2/x^2)=0,得驻点x=1。x≥1时，h'(x)>0
所以x=1时，h(x)min=h(1)=3，即a≤3