Question

数学归纳法的原理是什么？

Answer 1

递推的基础：证明当n=1时表达式成立。 　　
递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。 　　

这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。 　　

或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定： 　　第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与之相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。 　　这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下： 　　
（1）第一块骨牌倒下； 　　
（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。 　　

这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。

追问

怎么证明在整个自然数集上都满足？

追答

数学归纳法第一步已经说明当n=1时是成立的
按照归纳法第二步，我们可以知道：

如果1是成立的，那么2就是成立的，因为1已经成立，所以2也是成立的！
如果2是成立的，那么3就是成立的，因为2已经成立，所以3也是成立的！
................
如果n是成立的，那么n+1就是成立的，因为n已经成立，所以n+1也是成立的！
.................

所以每个自然数都是成立！

Answer 2

a^3-7a+6
=(a^3-a)-6(a-1)
=a(a+1)(a-1)-6(a-1)
=(a-1)(a^2+a-6)
=(a-1)(a-2)(a+3)

注：一般高于2次的因式，可以先用数字验证一下，比分说代入1，如果原式为0，说明方程
f(x)=0有解1，则f(x)必然包含因式x-1，所以我们就可以直接提出x-1啦
比分这个因式 a^3-7a+6 将a=1代入，得到a^3-7a+6=1-7+6=0，所以它就包含因子a-1啦

Answer 3

推多米诺骨牌（砖头）原理