Question

一道SAT2数学题

答好了我加分 if f(x)=x³-4x²-3x+2 which of the following are true?
1. the function f is increasing for x≥3
2.the equation f(x)=o has two nonreal solutions
3.f(x)≥-16 for all x≥0

答案是1和3，求解。为什么2不对？1,3又是怎么算出来的？

Answer 1

f(x)=x³-4x²-3x+2
f'(x)=3x²-8x-3>=0
(3x+1)(x-3)>=0
x<=-1/3或x>=3时导数>=0,即为函数递增区间,即
1. the function f is increasing for x≥3,正确.
2. 因为f(-1)=-1-4+3+2=0
x=-1是一实数解;
f(0)=2,f(2)=8-16-6+2=-12<0
所以由零点定理在(0,2)内也有一个实数解,与 two nonreal solutions,矛盾!
因为一共3个解,至少有2个实数解了.
3. x>=0
f'(x)=3x²-8x-3>=0
(3x+1)(x-3)>=0
x在[0,3),导数<0,函数递减;
(3,+无穷大),导数>0,函数递增,
所以
x=3为最小值点,此时取最小值f(3)=3³-4*3²-3*3+2=27-36-9+2=-16
从而
f(x)≥-16 for all x≥0.
正确!
答案是1和3,没错!

追问

对不起，我没学过导数，能换种说法么？SAT2是不考导数的呀。

追答

f(x)=x3-4x2-3x+2 =x3-4x2-5x+2x+2
=x(x2-4x-5)+2(x+1)
=x(x+1)(x-5)+2(x+1)
=(x+1)(x2-5x+2)
令
f(x)=0
有
(x+1)(x2-5x+2)=0
x=-1或x=(5+√17)/2或x=(5-√17)/2
三个实数根,所以2错!
f(x)=(x+1)(x2-5x+2)
x+1在x>=3 递增,x2-5x+2在x>=3也递增,所以
乘积f(x)=(x+1)(x2-5x+2)在x>=3也递增!
1对!
3同上面的分析!

Answer 2

2、你可以拆分函数，设g(x)=x^3 h(x)=-4x^2-3x+2 画出两个函数的大致图像，在定义域内看有几个交点，就有几个解。
1、求函数的增区间，你可以带入x和x+1,然后f(x)<f(x+1)
3、求x>=0时的最小值是不是比-16大就行了。

追问

是把两个函数画在一个坐标系里？然后看总共跟X轴有多少交点？
1,3我也是这么做的。就是2不确定啊。