Question

关于反三角函数为何是多值函数的问题……

TOT 本人数学基础不好，所以上了一节高数课感觉头脑十分混乱，求解答以下问题：

1、某函数的反函数存在的条件必须是原函数在定义域上严格单调，是吧？
2、如果某函数不是单调函数，而它在定义域的某区间内单调，也只能说这函数在这一区间内存在反函数，对吧？
（我不是很确定自己对反函数的理解是否有错误）
3、三角函数也同理的话，那么所谓的反三角函数也只不过是三角函数在某一区间（而且还是单调区间）上的反函数罢了，这样理解没错吧？
4、也就是说，反三角函数也应该是单调的才对不是吗？为什么它是多值函数呢？

以上，是我的疑问，希望有耐心的高手解答，拜托了拜托了拜托了~~~~

（另外请别说“三角函数本来就是多值函数，没什么可怀疑的”之类的话，我并非是质疑它的定义，只是想知道自己的想法到底哪里出了问题而已……）

答案能让我看懂的话会加分哦~~
啊啊……我没说清楚啊……我说的单调就是指单调递增或单调递减

Answer 1

呵呵，看得出来LZ是经过自己思考的，这很好~~

按照中学里反函数的定义，LZ的理解基本正确！只是"1"有一点小问题：f有反函数的充要条件是f为单射，并不一定f严格单调。如果定义在某区间上的函数f连续，那么f为单射等价于f严格单调。如果f不连续，那么f有反函数未必需要f严格单调。

除此之外，2, 3, 4都是正确的。在严格的函数意义下，三角函数整体不是单射，无反函数。三角函数限定在一个单调区间内形成了一个新函数，反三角函数是指这个新函数的反函数。由于原函数是单调的，反三角函数确实也是单调的。

当然，以上讨论限制在严格的函数概念上。书上说的意思是允许考虑所谓“多值函数”，这里要注意，多值函数不是严格意义上的函数，因为一个自变量可能应该到多于一个的函数值。

用映射的语言说，f:A->B是个满射. 如果f不单，那么f逆不是映射。但是如果对任意y∈B，定义f^(y)={x∈A: f(x)=y}, 尽管f^未必是映射，还是可以把f^称为B->A的一个“多值函数”，这时f^在某点处的值可能并不是一个数而是一个集合。“多值函数”实际是函数概念的一种推广。

以f(x)=sinx, x∈R为例。它不是单射，无严格意义下的反函数，因为对y∈[-1,1], 满足sinx=y, x∈R的x不止一个。但在上面所说的“多值函数”意义下，f可以有反函数f^, f^在某点取值为一个数集，例如f^(0)={kπ: k为整数}.

简单来说，你的理解基本没问题。书上这样说是因为它考虑了多值函数，这已经超出了严格意义上的“函数”概念，是一种推广的函数。

Answer 2

你搜一下反三角函数图像，在点正负π/2处，反三角函数数值趋于无穷，周期是π，在相应区间为单调函数。在正负π/2区间，三角函数正好单调。
2、3正确
单调和多值是两个概念，我学的时候没涉及到多值这个概念，所以我觉得，应为反三角函数在相应区间单调，在周期点趋于无穷，所以对应的函数值是无穷多个，即指多值

Answer 3

什么叫单调