Question

已知ab>0,试比较b²/a+a²/b和a+b的大小

Answer 1

ab(b^2/a+a^2/b)-ab(a+b)
=b^3+a^3-ba^2-ab^2
=(a-b)(a^2-b^2)
首先分a=b和a≠b讨论：
如a=b，易得b^2/a+a^2/b=a+b

如a≠b，则分以下两种情况讨论：
(1)如a>0,b>0,则(a-b)和(a^2-b^2)显然同正负
即ab(b^2/a+a^2/b)-ab(a+b)>0
即b^2/a+a^2/b>a+b
(2)如a<0,b<0,
不妨设a<b,则a-b<0, a^2-b^2>0
即ab(b^2/a+a^2/b)-ab(a+b)<0
即b^2/a+a^2/b<a+b

Answer 2

b²/a+a²/b-(a+b)
=b²/a-a+a²/b-b
=b²-a²/a+a²-b²/b
=(a²-b²)(1/b-1/a)
=(a²-b²)(a-b/ab)
ab>0
(1)a>b>0
(a²-b²)>0
a-b>0
(a²-b²)(a-b/ab)>0
b²/a+a²/b比(a+b)大
(2)b>a>0
(a²-b²)<0
a-b<0
ab>0
(a²-b²)(a-b/ab)>0
b²/a+a²/b比(a+b)大
(3)b<a<0
(a²-b²)<0
a-b>0
ab>0
(a²-b²)(a-b/ab)<0
b²/a+a²/b比(a+b)小
(4)a<b<0
(a²-b²)>0
a-b<0
ab>0
(a²-b²)(a-b/ab)<0
b²/a+a²/b比(a+b)小

Answer 3

b²/a+a²/b=(a^3+b^3)/ab=(a+b)(a^2-ab+b^2)/ab=(a+b)(a/b-1+b/a)

ab>0所以a/b>0,b/a>0
所以 a/b+b/a>=2根号(a/b)(b/a)=2
所以 a/b-1+b/a>=1
当a>0 b>0时b²/a+a²/b>=a+b a=b时取等号
当a<0 b<0时b²/a+a²/b<=a+b a=b时取等号

Answer 4

ab(b^2/a+a^2/b)-ab(a+b)
=b^3+a^3-ba^2-ab^2
=(a-b)(a^2-b^2)
首先分a=b和a≠b讨论：
如a=b，易得b^2/a+a^2/b=a+b
如a≠b，则分以下两种情况讨论：
(1)如a>0,b>0,则(a-b)和(a^2-b^2)显然同正负
即ab(b^2/a+a^2/b)-ab(a+b)>0
即b^2/a+a^2/b>a+b
(2)如a<0,b<0,
不妨设a<b,则a-b<0, a^2-b^2>0
即ab(b^2/a+a^2/b)-ab(a+b)<0
即b^2/a+a^2/b<a+b