Question

数学矩阵题

设方阵A满足 A^2-3A+4E=0 ,证明：A及 A+4E 都可逆，并求A^-1 及 （A+4E）^-1

Answer 1

解: 由 A^2-3A+4E=0
得 A(A-3E) = -4E
所以A可逆, 且 A^-1 = (-1/4)(A-3E)

再由 A^2-3A+4E=0
得 A(A+4E)-7(A+4E) + 32E = 0
所以 (A-7E)(A+4E) = -32E
所以 A+4E 可逆, 且 (A+4E)^-1 = (-1/32)(A-7E)

追问

老师你好，为什么A(A-3E) = -4E 就可以推出A可逆 课本里的定义是 AB=BA=E 推出A可逆

追答

那是定义. 应该还有个结论:
若同阶方阵A,B满足 AB = E, 则 A,B可逆, 且 A^-1 = B, B^-1 = A.

所以, 由 A(A-3E) = -4E , 则有 A[(-1/4)(A-3E)] = E
所以 A可逆, 且 A^-1 = (-1/4)(A-3E)