Question

设f(x)和g(x)都为奇函数,H(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,正无穷)上有最大值5，则H（x）在区间（负无穷，0）上

设f(x)和g(x)都为奇函数,H(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,正无穷)上有最大值5，则H（x）在区间（负无穷，0）上的最小值为？

Answer 1

设M(x)=H(x)-2=af(x)+bg(x)
M(-x)=af(-x)+bg(-x)=-af(x)-bg(x)=-[af(x)+bg(x)]=-M(x) 为奇函数
因为H(x)在 （0 正无穷）最大值为5 设当x=x0是，H(x)取到最大值
可以知道当 x=x0 时 M(x)也取到最大值 M(x0)=H(x0)-2=3
因为M(x)为奇函数
所以在（0，负无穷)上的最小值 M(-x0)=-M(x0)=2-H(x0)=2-5=-3

Answer 2

由已知中f（x）和g（x）为奇函数，根据函数奇偶性的性质可得F（x）=H（x）-1=af（x）+bg（x）也为奇函数，进而根据H（x）=af（x）+bg（x）+1在区间（0，+∞）有最大值5，结合奇函数的性质可在区间（0，+∞）有最大值4，在区间（-∞，0）上的最小值为-4，进而得到答案．解答：解：已知f（x）和g（x）为奇函数，
∴F（x）=H（x）-1=af（x）+bg（x）也为奇函数，
∵H（x）=af（x）+bg（x）+1在区间（0，+∞）有最大值5，
∴F（x）=af（x）+bg（x）在区间（0，+∞）有最大值4
∴F（x）=af（x）+bg（x）在区间（-∞，0）上的最小值为-4
∴H（x）在区间（-∞，0）上的最小值为-3

Answer 3

设M(x)=H(x)-2=af(x)+bg(x)
M(-x)=af(-x)+bg(-x)=-af(x)-bg(x)=-[af(x)+bg(x)]=-M(x) 为奇函数
因为H(x)在 （0 正无穷）最大值为5 设当x=x0是，H(x)取到最大值
可以知道当 x=x0 时 M(x)也取到最大值 M(x0)=H(x0)-2=3
因为M(x)为奇函数
所以在（0，负无穷)上的最小值 M(-x0)=-M(x0)=2-H(x0)=2-5=-3

Answer 4

f(x) g(x)为奇函数，则G（x）=f(x)+ g(x)在R上是奇函数，H(x)是G（x）向上平移两个单位的结果，所以G（x）在正区间上的最大值是3，由于G（x）关于原点对称，所以在负区间上的最小值是-3.，因此得到H(x)在负区间上的最小值是-1.

Answer 5

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