Question

急求 各位数学高手们 一道初中题

在边长为2的正方形ABCD中，P为AB中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC与点M、N，过Q做QE垂直于AB于点E，过M作MF垂直于BC与点F。顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值。

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Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，
∵QE⊥AB，MF⊥BC，
∴∠AEQ=∠MFB=90°，
∴四边形ABFM、AEQD都是矩形，
∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE，
又∵PQ⊥MN，
∴∠EQP=∠FMN，
又∵∠QEP=∠MFN=90°，
∴△PEQ≌游源△NFM；
（2）∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，
∴PA=1，PE=1-t，QE=2，
由勾股定理，得PQ=√ (QE²+PE²)= √[(1-t)²神扮态+4]，
∵△PEQ≌△NFM，
∴MN=PQ= √[(1-t)²+4]，
又∵PQ⊥MN，
∴S= ½PQ•MN= ½[(1-t)²+4]= ½t²-t+ 5/2，
∵0≤t≤2，
∴当t=1时，S最小值=2．
综上：S= ½t²-t+ 5/2，S的最小缺吵值为2．

Answer 2

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