Question

已知集合P={x∈R|x^2-3x+b=0},Q={x∈R|(x^2+3x-4)=0}

P是否能成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围;若不能，请说明理由

Answer 1

先来看集合Q={x∈R|(x^2+3x-4)=0}={1，-4}。

要使p ⊆Q 成立 根据集合概念=> P是空集或P={1}或 p={-4}或 p={1,-4}。

当p是空集时 说明x^2-3x+b=0无解 所以 Δ=b^2-4ac<0 => 9-4b<0 => b>9/4。

当P={1}时 可以推出1为一元二次方程 x^2-3x+b=0的解 将x=1代入方程 => b=2。

-3x+b=3x-4 可推出此假设不成立。

故：当b=2或b=-28或b>9/4时 p是Q的真子集。

基数

集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。

假设有实数x < y：

①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y。

②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。

Answer 2

此题出得比较好，考查学生对集合的掌握程度，以及学生的分类讨论思想。
先来看集合Q={x∈R|(x^2+3x-4)=0}={1，-4}
要使p ⊆Q 成立 根据集合概念=> P是空集或P={1}或 p={-4}或 p={1,-4}
当p是空集时 说明x^2-3x+b=0无解 所以 Δ=b^2-4ac<0 => 9-4b<0 => b>9/4
当P={1}时 可以推出1为一元二次方程 x^2-3x+b=0的解 将x=1代入方程 => b=2
当p={-4}时 可以推出-4为一元二次方程 x^2-3x+b=0的解 将x=-4代入方程 => b=-28
当p={1,-4} 可以推出1，-4为一元二次方程 x^2-3x+b=0的解 所以x^2-3x+b=x^2+3x-4=0 =>
-3x+b=3x-4 可推出此假设不成立
故：当b=2或b=-28或b>9/4时 p是Q的真子集