Question

已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax²相切，求切点坐标和实数a的值

Answer 1

分析：先设出切点坐标，进而对抛物线方程求导，把切点分别代入直线方程、抛物线方程，联立即可求得a．

解：记切点P（xο，yο），
∵y=ax²
∴y′=2ax，
则有：xο-yο-1=0（切点在切线上）①；
yο=a xο²（切点在曲线上）②
2a xο=1（切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；
由①②③解得：a=1/4．

追问

那切点是不是就是联立那两个方程求解了？

追答

因为相切，则把y=x-1代入抛物线方程得
x-1=ax²，
因为a=1/4，所以x²-4x+4=0，
(x-2)²=0，
x=2，
y=x-1=2-1=1
所以切点为(2，1)。

Answer 2

x-y-1=0
y=ax²

将y=ax²代入x-y-1=0解组合方程有唯一解