Question

请教高代矩阵问题，谢谢！

1，设A为n阶可逆阵，其每行元素之和都等于a，问A逆（A的逆矩阵）每行元素之和为多少？
2，判断对错：若矩阵AB=E，则A可逆且 A逆=B .
3，设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则
（1）若A可逆则B可逆。
（2）若B可逆则A+B可逆。
（3）若A+B可逆则AB可逆。
（4）A-E恒可逆。
其中正确的有（ ）
注：以上三题中“A逆”就是“A的逆矩阵”，右上角的-1符号我不会打
会的帮帮忙，请写出理由。
***********谢谢280848174,但答案我都有，我需要的是理由。。

Answer 1

第一题
1/a
BA = E (E为单位矩阵;既主对角线上的元素都为1,而其他元素都为0)
E 的每行之和为 1
求 B
根据矩阵乘法法则
Ei1 + Ei2 + ... + Ein
= (Bi1*A11 + Bi2*A21 + ... + BinAn1) + ... + (Bi1*A1n + Bi2*A2n + ... + BinAnn)
= Bi1*( A11 + A12 +...+ A1n ) + ... + Bin*( An1 + An2 + ...+ Ann )
= Bi1*a + Bi2*a +...+ Bin*a
= (Bi1 + Bi2 + ... + Bin) * a
= 1
所以 Bi1 + Bi2 + ... + Bin = 1/a (即 B 中第i行之和为1/a )

所以 A逆（A的逆矩阵）每行元素之和为 1/a

第二题 对的
若 A 可逆

AB=E
A逆 * AB = A逆 * E = A逆
B=A逆

若 A 不可逆

那么就不存在 AB=E

第三题 全对
1. AB=A+B；（A—E）B=A；A （A-E）B= A A；（E- A ）B=E
2. 由1知B可逆的话A也可逆，AB B A =（A+B）B A ；E=（A+B）B A
3. (A+B)(A+B) =AB(A+B) ;E= AB(A+B)
4.（A—E）B=A, （A—E）B-E=A-E, （A—E）(B-E)=E

Answer 2

这些题都比较简单，不知道你出这些题什么意思
第一题，1/a
第二题，对的
第三题，都是对的

第一题：设 c=（1，1…..1） ，则A c=（a,a…..a）
A逆 Ac = A 逆（a,a…..a） = c 得证
第二题：AB=E；A 逆AB= A 逆；B= A 逆
第三题：1，AB=A+B；（A—E）B=A；A 逆（A-E）B= A 逆A；（E- A ）B=E
2，由1知B可逆的话A也可逆，AB B逆 A逆 =（A+B）B逆 A逆 ；E=（A+B）B逆 A 逆

3,(A+B)(A+B)逆 =AB(A+B)逆 ;E= AB(A+B) 逆
4, （A—E）B=A, （A—E）B-E=A-E, （A—E）(B-E)=E

我用word写好考过来的，但是逆的符号都丢失了，希望你能看懂我写的，呵呵