Question

已知定义域为R的奇函数f（x），当x>0时，f（x）=lnx-ax+1（a∈R）

1、求函数f（x）的解析式
2、若函数y=f(x)在R上恰有5个零点，求实数a的取值范围

Answer 1

解：1、f（x）为定义域为R的奇函数，则f(x) =-f(-x)
故x<0时，-x>0,则f(x) =-f(-x)=㏑(-x)+ ax+1
当x=0时，f(x)=0
综上： x>0时，f（x）=lnx-ax+1（a∈R）
x=0时，f(x)=0
x<0时f(x) =㏑(-x)+ ax+1
2、x=0时，f(x)=0
因f(x)函数图象关于原点对称，且函数y=f(x)在R上恰有5个零点
则当x>0时，f（x）=lnx-ax+1=0（a∈R）恰有两个实数解。
即lnx=ax-1（x>0）
由图像可得0<a<1