Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0),求证：“存在x0∈R。使af(x0)＜0”是“方程ax2+bx+c=0有两个不

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b.c∈R,a≠0)，求证：“存在x0∈R,使af(x0)”是“方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数解”的充要条件。

Answer 1

证明必要性：如果f(x)=ax^2 +bx+c有两个不等实根x1<x2，使得f(x1)=f(x2)=0，根据韦达定理有
x1 x2 = c/a, x1 + x2 = -b/a
我们取x0=(x1+x2)/2 = -b/2a代入得到
f(x0) = a(x0+b/2a)^2 + c-b^2/4a= (4ac-b^2)/4a , 因为方程有两个实根，所以b^2-4ac>0，所以af(x0)= (4ac-b^2)/4 <0成立

证明充分性：如果存在x0使得af(x0) <0，就是a^2x^2 +abx+ac <0 在x=x0处成立
因为a^2>0, 根据二次函数特点，x=-ab/2a^2处a^2x^2 +abx +ac 取得最小值，为
f(-ab/2a^2)=ac - b^2/4
既然它是最小值，那么f(-ab/2a^2) <= f(x0) <0，所以ac - b^2/4<0，就是b^2-4ac>0
所以原来二次函数必然有2个不等实根

Answer 2

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