Question

请问如何证明根号5，根号3是无理数？

谢谢！！

Answer 1

反证法：
假设结论不成立（接下来用a表示根号3，因为不好打），即a为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍数，于是p、q均为3的倍数，与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知a为无理数

假设 根号5是有理数，
设 根号5=p/q,
其中，p,q是正的自然数且互质。
则由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除，所以p也能被5 整除（反证法可以证得：如果p不能被5整除,则p^2也不能被5整除，得证）
设p=5*n(n是正的自然数)
则5q^2=p^2=25n^2
这样 q^2也能被5整除，q也能被5整除
因此p与q有公因子5。
这与p,q互质相矛盾
从而 证明了根号5为无理数。

Answer 2

反证法：
假设结论不成立（接下来用a表示根号3，因为不好打），即a为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍数，于是p、q均为3的倍数，与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知a为无理数

Answer 3

那是
要是什么都查不出来
还叫百度吗
？
那上的信息可多