Question

我做这道数学题目错在哪里？高手！！！！高三的题目

设函数f(x)是定义在R上的增函数，若不等式f(1-ax-x^2)＜f(2-a)对任意x∈[0,1]都成立,求实数a的取值范围
我的解法：由题，1-ax-x^2＜2-a。
假设存在，当x=1时，恒成立。
当x≠1时，x∈〖0,1）a<(x^2-1)/(1-x)
即a<-(x+1)
因为-(x+1)>-2
所以a<-2.
哎。。是错的，答案是
a<1

Answer 1

同学，你的思路还不错，你用的这种方法叫做“分离参数”。转化的不错，
由题，f(x)为R上的增函数，所以利用单调性，可以去掉 f 符号，问题等价于
1-ax-x^2＜2-a 对任意x∈[0,1]都成立。
变一下形，等价于 a(1-x) < x^2+1 对任意x∈[0,1]都成立 。
①当x=1时，上式显然成立，此时 a ∈R。
②当x≠1时，等价于 a < (x^2+1)/(1-x) 对任意的x∈[0,1)恒成立，
这时，令g(x)=(x^2+1)/(1-x) 其定义域为[0,1) ，问题等价于a < g(x) 恒成立，
进而等价于 a < g(x)的最小值，下面我们只需要求出g(x) 在[0,1) 上得最小值，
求导g'(x)=—(x^2-2x-1)/(1-x)^2，驻点x=1+根号2，x=1-根号2，不可导点x=1，
根轴法标出g'(x)的符号图，可以发现，g(x)在[0,1)上递增，所以最小值为g(0)=1
那么有a < 1 ，再和①求交集，最终答案依然是a < 1

你之所以做错，是移项合并同类项的时候弄错了符号，你再仔细看看，重新移项，肯定是我这个表达式

Answer 2

当x≠1时，x∈〖0,1）a<(x^2-1)/(1-x)
是(x^2+1)/(1-x)

Answer 3

当x≠1时，x∈〖0,1）不等式应该是
是a<(x^2+1)/(1-x) ,
即a<-1-X^2+2/(1-X)
对于任一x∈〖0,1）,a的这一不等式都成立,-1-X^2+2/(1-X)的最小值(最小值可以作图得出)是1,
所以a<1.

追问

能告诉我怎样画图求吗

追答

都知道X^2和1/X在坐标轴上的基本图形,就是通过在坐标轴上平移和对称变换,把图画出来.