Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-1）的图像关于点（1,0)对称；②对任意x∈R，

f[﹙3/4﹚-X]=f[﹙3/4﹚+x]成立；③当x∈（-3/2，-3/4]时，f（x）=㏒2﹙-3x+1).则f(2011)=?

Answer 1

函数y=f（x-1）的图像关于点（1,0）对称
函数y=f（x）是由函数y=f（x-1）的图像向左平移一个单位得到的，
所以函数y=f（x）的图像关于点（0,0）对称;
即函数y=f（x）是奇函数,即有f(-x)=-f(x).
对任意x∈R，f[﹙3/4﹚-X]=f[﹙3/4﹚+x]成立，即有f(-x)=f(3/2+x)
∴-f(x) =f(3/2+x)
从而f(x+3)=f((x+3/2)+3/2)=- f(x+3/2) =f(x)
所以函数周期为3.则f(2011)=f(3×670+1)=f(1).

当x∈（-3/2，-3/4]时，f（x）=㏒2﹙-3x+1).
所以f(-1)= ㏒2﹙3+1)=2.
因为函数是奇函数，
所以f(2011)= f(1) =-f(-1)=-2.