Question

如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点

如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点
（1）求证：BD1∥平面A1DE
（2）求证：D1E⊥A1D
(3)在线段AB上是否存在点M，使二面角D1-MC-D的大小为π/6？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由

Answer 1

⑴ 设O＝A1D∩AD1, 则OE是⊿ABD1的中位线。OE∥BD1. OE∈平面A1DE ∴BD1∥平面A1DE
⑵ D1E⊥A1D打错，应该是D1B⊥A1D,
∵ AB⊥平面AA1D1D ∴AB⊥A1D,又A1D⊥D1A, ∴A1D⊥平面ABD1 A1D⊥D1B.
⑶ M为A时 tan 二面角D1-MC-D＝DD1/DP＝√2 [P＝AC∩BD]
二面角D1-MC-D≈54º44′
M为B时 tan 二面角D1-MC-D＝DD1/DB＝1
二面角D1-MC-D＝45º
当M从A向B运动时 ，二面角D1-MC-D单调减少，
∴线段AB上不存在点M，使二面角D1-MC-D的大小为π/6﹙30º﹚

Answer 2

证明：（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE．
∴EO为△ABD1的中位线∴EO∥BD1
又∵BD1⊂平面A1DE，OB⊂平面A1DE∴BD1∥平面A1DE
（2）由已知可得：AE⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1
∴AE⊥A1D，
又∵A1D⊥AD1，AE∩AD1=A
∴A1D⊥平面AD1E，D1E⊂平面AD1E
∴A1D⊥D1E
解：（3）由题意可得：D1D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），
设M（1，y0，0）（0≤y0≤2），∵MC ＝(−1，2−y0，0)，D1C＝(0，2，−1) (向量符号打不出自己添加，下面同理)
设平面D1MC的法向量为n1=（x，y，z）
则 n1•MC＝0
n1•D1C＝0
得 −x＋y(2−y0)＝0
2y−z＝0
取D1MC是平面D1MC的一个法向量，而平面MCD的一个法向量为n2=（0，0，1）要使二面角D1-MC-D的大小为π/6 而cos(π/6) ＝|cos＜n1，n2＞|＝|n1•n2|/|n1|•|n2| ＝2/√[(2−y0)2＋1²＋2²
＝√3/2
解得：y0＝2−√3/3(0≤y0≤2)，
当AM=2−√3/3时，二面角D1-MC-D的大小为π/6