Question

点P在正方体ABCD--A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，下列命题正确的是

点P在正方体ABCD--A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，下列命题正确的是：
1、三棱锥A-D1PC的体积不变
2、A1P平行面ACD1
3、DP垂直BC1
4、面PDB1垂直面ACD1

请附带说明，谢谢

Answer 1

1、2和4是对的
1、三棱锥A-D1PC的体积也可以看成P-AD1C的体积
∵BC1∥AD1
∴BC1∥面AD1C
∴当P运动时，点P到AD1C的距离也不会发生变化，所以体积不会变

2、∵BC1∥AD1，A1B∥CD1
∴平面A1BC1∥平面ACD1
又A1P是平面A1BC1上的直线
∴A1P∥平面ACD1

3、当P处于B点时就不满足
只有P是BC1的中点时才满足

4、DB1在面ADD1A上的投影为A1D
∵A1D⊥AD1
∴DB1⊥AD1
D1B在面ABCD上的投影为BD
∵DB⊥AC
∴D1B⊥AC
∴D1B⊥面ACD1
∴面PDB1⊥面ACD1

Answer 2

1 OK 因为三棱锥A-D1PC与三棱锥P-AD1C是一回事，无论P如何变化，△AD1C面积不便。有BC1//AD1，因此BC1//平面AD1C，及BC1上的所有点到平面AD1C的距离都相等，
即三棱锥P-AD1C体积不变，即三棱锥A-D1PC的体积不变；
2 OK 取AD1上的点P1，使D1P1 = BP， 不难证明A1P//CP1，因此A1P//平行面ACD1
3 不对，仅当P为BC1中点时才对，这可从BD=DC1，从而△BDC1是等腰三角形得证；
4 OK，不难知道DB1⊥AC（可从AC⊥平面DD1B1B得到），类似DB1 ⊥AD1,因此DB1⊥平面ACD1，有DB1也在平面PDB1，因此面PDB1垂直面ACD1