Question

已知a∈R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)

已知a∈R，函数f(x)=a/x+lnx-1，g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)
（1）判断函数f(x)在（0，e）上的单调性
（2）是否存在实数x0∈(0，+∞)，使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由
（3）若实数m，n满足m>0，n>0，求证：n^n.e^m≥m^n.e^n

Answer 1

(1)f(x)=ax²+x/e-lnx(x>0)
当a=1/2时
∴ f(x)=(1/2)x²+x/e-lnx
∴f'(x)=x-1/x+1/e
令f'(x)=0 且x>0
∴x=[-1+√(4e²+1)]/2e
∴f(x)在(0,[-1+√(4e²+1)]/2e)单调递减 在（[-1+√(4e²+1)]/2e，+∞）单调递增
（2）f'(x)=2ax-1/x+1/e
当a>0时 通过和（1）相同的算法 可得函数最小值大于0
所以f(x)=0没有实数解

Answer 2

(1)f(x)=ax 2; x/e-lnx(x