Question

若关于x的一元两次方程mx^2+(m-3)x+1=0至少有一个正根，求实数m的范围

拜托要详细一点的过程

Answer 1

"至少有一个正根"意思是说 一个 或 两个 正根 (因为2次方程最多两个根)

此方程为假二次方程
所以考虑 2 次系数

当 m = 0 时
X = 1/3 (成立)

当 m <> (不等于) 0 时

Δ = (m-3)^2 - 4m*1
= m^2 - 6m + 9 - 4m
= m^2-10m + 9 >=0
求得
m <= 1 ( m <> 0 因为前面已假设 m<>0 ) 或 m >= 9

当 m < 0 时
根据二次函数的图象可知 此函数的开口向下
当 X=0 时 函数的值 = 1
所以 方程一定有根 且一定有大于零的(即正)根 (成立)

当 m > 0 时
mx^2+(m-3)x+1=0 可改写成
x^2+(m-3)x/m+1/m=0
根据韦达定理
X1 + X2 = (3-m)/m
X1 * X2 = 1/m
因为 m > 0 所以 X1 X2 同号
所以要有正根 只能有 2 个 正根
所以 (3-m)/m > 0
所以 m < 3 (有解时 m<=1 )
所以 m <= 1

综上所述 m <= 1