已知函数f(x)=2sin²(π/4+x)-√3cos2x,x∈[π/4,π/2].
(1)求f(x)的最大值和最小值(2)若不等式|f(x)-m|<2,在x∈[π/4,π/2]上恒成立,求实数m的取值范围。补充:因为数学功底较差,希望回答的高手能将具体步...
(1)求f(x)的最大值和最小值
(2)若不等式|f(x)-m|<2,在x∈[π/4,π/2]上恒成立,求实数m的取值范围。
补充:因为数学功底较差,希望回答的高手能将具体步骤写出,可以加分,谢谢。 展开
(2)若不等式|f(x)-m|<2,在x∈[π/4,π/2]上恒成立,求实数m的取值范围。
补充:因为数学功底较差,希望回答的高手能将具体步骤写出,可以加分,谢谢。 展开
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解:(1)f(x)=2sin²(π/4+x)-√3cos2x=1-cos(π/2+2x)-√3cos2x=1+sin(2x)-√3cos2x
=1+sin(2x-π/3)/2
π/4≤x≤π/2,π/2≤2x≤π,π/6≤2x-π/3≤2π/3,1/4≤sin(2x-π/3)/2≤1/2,
5/4≤f(x)≤3/2。f(x)的最大值和最小值分别为3/2和5/4。
(2)若f(x)≥m,则有f(x)-m<2,5/4≤f(x)<m+2,m>-3/4,结合f(x)≥m,有-3/4<m≤5/4。
若f(x)<m,则有m-f(x)<2,m+2<f(x)<3/2,m<-1/2,结合f(x)<m,有3/2<m≤-1/2,矛盾,无解。因此m的取值范围为(-3/4,5/4]。
=1+sin(2x-π/3)/2
π/4≤x≤π/2,π/2≤2x≤π,π/6≤2x-π/3≤2π/3,1/4≤sin(2x-π/3)/2≤1/2,
5/4≤f(x)≤3/2。f(x)的最大值和最小值分别为3/2和5/4。
(2)若f(x)≥m,则有f(x)-m<2,5/4≤f(x)<m+2,m>-3/4,结合f(x)≥m,有-3/4<m≤5/4。
若f(x)<m,则有m-f(x)<2,m+2<f(x)<3/2,m<-1/2,结合f(x)<m,有3/2<m≤-1/2,矛盾,无解。因此m的取值范围为(-3/4,5/4]。
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