Question

已知函数f(x)=2sin²(π/4+x)-√3cos2x，x∈[π/4,π/2].

（1）求f（x）的最大值和最小值
（2）若不等式|f(x)-m|＜2，在x∈[π/4,π/2]上恒成立，求实数m的取值范围。

补充：因为数学功底较差，希望回答的高手能将具体步骤写出，可以加分，谢谢。

Answer 1

解：(1)f(x)=2sin²(π/4+x)-√3cos2x=1-cos(π/2+2x)-√3cos2x=1+sin(2x)-√3cos2x
=1+sin(2x-π/3)/2
π/4≤x≤π/2，π/2≤2x≤π，π/6≤2x-π/3≤2π/3，1/4≤sin(2x-π/3)/2≤1/2，
5/4≤f(x)≤3/2。f（x）的最大值和最小值分别为3/2和5/4。
(2)若f(x)≥m，则有f(x)-m<2，5/4≤f(x)<m+2，m>-3/4，结合f(x)≥m，有-3/4<m≤5/4。
若f(x)<m，则有m-f(x)<2，m+2<f(x)<3/2，m<-1/2，结合f(x)<m，有3/2<m≤-1/2，矛盾，无解。因此m的取值范围为(-3/4，5/4]。

Answer 2

1. (x)max=3，f(x)min=2.

2. .1＜m＜4.