Question

三角形abc，ab=ac，角bac=90度，d是bc上任意一点，则bd的平方+cd的平方=2ad的平方的理由

Answer 1

BD^2+CD^2=2AD^2 的理由如下：

过D作AB、AC的垂线DE、DF，垂足为E、F，则∠AED=90°，∠AFD=90°
又∵ ∠BAC=90°
∴ ∠EDF=90°
∴ 四边形AEDE为矩形
∴ AE=DF，AF=DE，AD为矩形的对角线
令AE=DF=a，AF=DE=b，则根据勾股定理可得：AD^2=a^2+b^2
∵ ∠BAC=90°，AB=AC
∴ △BAC为等腰直角三角形
∴ ∠B=∠C=45°
又∵∠AED=90°，∠AFD=90°
∴ ∠BED=90°，∠CFD=90°
∴ △BED和△CFD均为等腰直角三角形
∴ CF=DF=a，BE=DE=b
又在Rt△BED和Rt△CFD中，根据勾股定理可得：
∴ BD^2=BE^2+DE^2=b^2+b^2=2b^2
CD^2=CF^2+DF^2=a^2+a^2=2a^2
∴ BD^2+CD^2=2(a^2+b^2)
又∵AD^2=a^2+b^2
∴ BD^2+CD^2=2AD^2

Answer 2

证明：作AE⊥BC于E，
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE= ½BC，
由勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²，
AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，
AD²=AE²+ED²，
∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BD-BE）²+AC²-CE²+（CE-CD）²
=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE
=AB²+AC²+BD²+CD²-2× ½BC×BC
=BD²+CD²，
即：BD²+CD²=2AD²．

Answer 3

要答案不？