Question

设x1=4,xn+1=√(2xn+3),求lim趋于无穷xn存在并求之

Answer 1

解：应用数学归纳法证明Xn>3(n=1,2,3,.....)
(1)当n=1时，X1=4>3，原命题成立；
(2)假设当n=k时，有Xk>3
则n=k+1时，有Xk+1=√(2Xk+3)>√(2*3+3)=3，原命题也成立。
故综合(1)与(2)，知Xn>3(n=1,2,3,.....)。
于是，Xn有下界。
∵Xn>3 ==>Xn-1>2
==>(Xn-1)²>4
==>4-(Xn-1)²<0
∴Xn+1²-Xn²=2Xn+3-Xn²=4-(Xn-1)²<0
==>Xn+1²<Xn²
==>Xn+1<Xn
即Xn单调递减有下界。
从而，由定理可知Xn存在极限。设它的极限为X。
∵Xn+1=√(2Xn+3)
∴X=√(2X+3) (对等式两端取极限)
==>X²=2X+3
==>X²-2X-3=0
==>(X-3)(X+1)=0
==>X-3=0 (∵Xn>3(n=1,2,3,.....)，∴X+1>0)
==>X=3
故lim(n->∞)Xn=3。