Question

一道高一数学题（关于函数的单调性和奇偶性），会者请帮忙，谢谢！

f(x)=ax²+2/3x+b为奇函数,且f（2）=5/3.
（1）求a，b的值；
（2）判断f(x)在（-∞，-1）上的单调性.
希望给出具体分析过程，谢谢。
第（2）问要证明。
（1）答案a=2，b=0

Answer 1

因为奇函数，f(x)=-f(-x),
则（ax^2+2)/(3x+b )=-（ax^2+2)/(-3x+b )对于任意x成立。
取x=0，则2/b=-2/b==>b=-b==>b=0。
代入f(2)=5/3,得a=2。
所以a=2，b=0。

f(x)=(2x^2+2)/(3x),
设x1<x2<-1,
则f(x1)- f(x2)= (2x1^2+2)/(3x1)- (2x2^2+2)/(3x2)
=[(2x1^2+2) *x2- (2x2^2+2) *x1]/(3x1x2)
=[2x1x2(x1-x2)+2(x2-x1)] /(3x1x2)
=2(x1-x2)(x1x2-1) /(3x1x2)
因为x1<x2<-1,
所以x1-x2<0, x1x2>1,
∴f(x1)- f(x2)<0,
所以f(x)在（-∞，-1）上单调递增。

Answer 2

（1）奇函数 所以函数图像经过（0,0）点（奇函数的性质）
f（2）=5/3 所以函数图象过（2,5/3）点
把两个点的坐标分别代入原函数，得到a=1/12 b=0
（2）高一还没学导数吧？
可以用二次函数图像性质来做。
首先由第一问解得的ab的值，得到f(x)=1/12x²+2/3x
对称轴为x=(-b/2a)=-(2/3)/(1/12*2)=-4
又因为1/12>0 所以函数图像开口向上
所以该函数在（-∞，-1）上的单调性为：
在（-∞，-4）上为单调减函数，在（-4，-1）上为单调增函数。

希望能帮到你~

追问

可是题中没有说f(x)的定义域中包括0啊~

追答

啊 这种题不用那么较真~你做多了就明白了 不会所有的题干都会说那么过分详细
一般这种题如果没有说定义域 那么就是默认定义域为全体实数集了~放心 你慢慢会发现这样的题很多~

追问

而且第（1）问的答案是a=2，b=0. 2/b=0不能推出b=0，因为b=0时无意义~
麻烦您能解释一下吗？

追答

第一问是a=1/12~十二分之一~如果你说的是参考答案的话 那有可能是答案错了。。习题上的答案经常会错的。。
2/b是什么？如果是求对称轴的话 公式是x=-b/2a（不过注意这里的a和b是指一般式f(x)=ax²+bx+c中的a和b）
第一问推出b方法是：奇函数性质为奇函数图像必过原点（0,0），然后直接把坐标带入函数得到：a*0²+2/3*0+b=0 （* 是乘号 打不出来。。） 解得b=0

Answer 3

f(x)=ax²+2/3x+b为奇函数可得分f(0)=0，得b=0
再有f（2）=5/3得a=1/12

(2),f(x)求导得1/6x+2/3
可知在（-∞，-4）上有f(x)的导数<0,f(x)单调递减
可知在（-4，-1）上有f(x)的导数>0,f(x)单调递增

Answer 4

(1),f(x)是奇函数,且在[0,1)上递增,
令0<x1<x2<1,-1<-x2<-x1<0.
f(x1)<f(x2)
即-f(-x1)<-f(-x2),f(-x1)>f(-x2)
所以f(x)在(-1,0]上也单增
由此知f(-1/π)<f(-1/4)<f(1/2)
(2)f(1+x)<-f(1-x^2)=f(x^2-1)
则,-1<1+x<x^2-1<1
解之,-√2<x<-1

Answer 5

既然是奇函数肯定过原点了，由f（0）=0及f（2）=5/3可得到a=1/12，b=0，至于单调性，求导不就行了，如果不明白的话可以接着提问