Question

如图12-11，D是等边三角形ABC外一点，DB=DC,角BDC=120度，点E,F分别在AB,AC上。

求证（1）：AD是BC的垂直平分线（2）：若ED评分角BEF，则：①FD平分角EFC;②三角形的周长是BC长的2倍

Answer 1

(1)DB=DC,AB=AC,AD=AD,则⊿ABD≌⊿ACD（SSS）,得∠BAD=∠CAD.
所以,AD是BC的垂直平分线.(等腰三角形"三线合一")
(2)DB=DC,∠BDC=120°,则∠DBC=∠DCB=30°.
又∠ABC=∠ACB=60°,则DB垂直AB,DC垂直AC.
作DG垂直EF于G.ED平分角BEF,则DB=DG=DC,得FD平分角EFC.(等腰三角形"三线合一")
(3)DB=DG,DE=DE,则Rt⊿DBE≌Rt⊿DGE(HL),得BE=EG;同理可证:CF=FG.
则AE+EF+FA=AE+EG+FG+FA=(AE+EB)+(CF+FA)=AB+AC=2BC.

Answer 2

　　1)因为AB=AC 所以A在BC垂直平分线上
　　同理D在BC垂直平分线上
　　所以AD是BC垂直平分线
　　(2)DB=DC,∠BDC=120°,则∠DBC=∠DCB=30°.
　　又∠ABC=∠ACB=60°,则DB垂直AB,DC垂直AC.
　　作DG垂直EF于G.ED平分角BEF,则DB=DG=DC,得FD平分角EFC.
　　(3)DB=DG,DE=DE,则Rt⊿DBE≌Rt⊿DGE(HL),得BE=EG;同理 得:CF=FG.
　　则AE+EF+FA=AE+EG+FG+FA=(AE+EB)+(CF+FA)=AB+AC=2BC.

　　

Answer 3

)DB=DC,AB=AC,AD=AD,则⊿ABD≌⊿ACD（SSS）,得∠BAD=∠CAD.
所以,AD是BC的垂直平分线.(等腰三角形"三线合一")
BC.