Question

∫∫√1-x^2-y^2/1+x^2+y^2dxdy,其中D为区域x^2+y^2≤1的二重积分计算

Answer 1

原式= ∫[0,2π] dθ ∫[0,1] √(1-r²)/(1+r²) r dr (极坐标变换)
= π ∫[0,1]√(1-r²)/(1+r²)d(r²) 令 u= r²
= π ∫[0,1] √(1-u) / √(1+u) du
= π ∫[0,1] (1-u) / √(1-u²) du
= π ∫[0,1] 1/ √(1-u²) du - π ∫[0,1] u / √(1-u²) du
= π [ arcsinu + √(1-u²) ] | [0,1]
= π²/2 - π

Answer 2

解：原式= ∫<0,2π>dθ∫<0,1>√(1-r²)/(1+r²)rdr (极坐标变换)
=π∫<0,1>√(1-r²)/(1+r²)d(r²)
=2π∫<0,1>t²dt/(2-t²) (令√(1-r²)=t)
=√2π∫<0,1>[1/(√2+t)+1/(√2-t)-√2]dt
=√2π[ln│√2+t│-ln│√2-t│-√2t]│<0,1>
=√2π[ln│(√2+t)/(√2-t)│-√2t]│<0,1>
=√2π[ln│(√2+1)/(√2-1)│-√2]
=√2π[2ln(√2+1)-√2]
=2π[√2ln(√2+1)-1]。