Question

观察算式： (1-1/2^2)=3/4=1/2×3/2； (1-1/2^2)(1-1/3^2)=3/4×8/9=1/2×3/2×2/3×4/3=1/2×4/3；.....

2.(1-1/2^2)(1-1/3^2)（1-1/4^2)......(1-1/n^2)=_____(n是正整数）
3.当n非常大时，(1-1/2^2)(1-1/3^2)（1-1/4^2)......(1-1/n^2）将接近于什么数？
请说明理由

Answer 1

2.(1-1/2^2)(1-1/3^2)（1-1/4^2)......(1-1/n^2)=(n+1)/2n(n是正整数）
(1-1/2^2)(1-1/3^2)（1-1/4^2)......(1-1/n^2）
=（1+1/2）*（1-1/2）*（1+1/3）*（1-1/3）*（1+1/4）*（1-1/4）*……*（1+1/n)*(1-1/n)
=3/2*4/3*……*（n+1)/n*1/2*2*3*……*（n-1)/n
=（n+1)/2*1/n
=(n+1)/2n
3.当n非常大时，(1-1/2^2)(1-1/3^2)（1-1/4^2)......(1-1/n^2）将接近于1/2

Answer 2

=（1+1/2）*（1-1/2）*（1+1/3）*（1-1/3）*（1+1/4）*（1-1/4）*……*（1+1/n)*(1-1/n)
=3/2*4/3*……*（n+1)/n*1/2*2*3*……*（n-1)/n
=（n+1)/2*1/n
=(n+1)/2n
3.当n非常大时，(1-1/2^2)(1-1/3^2)（1-1/4^2)......(1-1/n^2）将接近于1/2