Question

试证齐次微分方程Mdx+Ndy=0,当xM+yN≠0时，有积分因子u=[1/(xM+yN)]

Answer 1

这个题目很简单，但是计算量非常大。有这么几种方法都能行。
1、根据恰当方程（常微分方程）和积分因子的定义。把积分因子u=[1/(xM+yN)]同时乘以方程的左右两端。那么原方程变为Mudx+Nudy=0是恰当方程。再根据恰当方程的定义，假如现在的方程满足a(Mu)/ay=a(Nu)/ax，则说明结论成立。实际上就是把积分因子带入原方程以后计算变化后的方程是否是恰当方程。
2、根据定理：如果u是微分方程Mdx+Ndy=0的积分因子，则满足N*au/ax-M*au/ay=(aM/ay-aN/ax)u。直接把u带入到这个式子，算偏导验证等号成立即可。
这两种方法我在matlab里面运行都是成立的。
3、直接凑微分。一般只适用于具体函数证明。直接按照积分因子的定义带入，把方程的左端凑成某个函数的全微分形式即得证。

Answer 2

齐次微分方程Mdx+Ndy=0, dy/dx = - M/N
设 M/N = f(y/x)， M =N f(y/x)
方程 Mdx+Ndy=0 两端同时乘以 u=[1/(xM+yN)]， 原方程化为：
{ f(y/x) / [x f(y/x) + y] } dx + { 1 / [x f(y/x) + y] } dy = 0 @
令 P(x,y) = f(y/x) / [x f(y/x) + y] , Q(x,y) = 1 / [x f(y/x) + y]
∂Q/∂x = - [ f(y/x) + x * f '(y/x) * (-y/x²) ] / [x f(y/x) + y] ²
= [ f '(y/x) * (y/x) - f(y/x) ] / [x f(y/x) + y] ²
∂P/∂y = ...... = [ f '(y/x) * (y/x) - f(y/x) ] / [x f(y/x) + y] ²
故 方程@ 为全微分方程， 即原方程有积分因子u=[1/(xM+yN)]。

Answer 3

回，楼上
就是要求个计算过程，道理都明白的。。。。

Answer 4

书上有啊