Question

证明：函数f(x)=x+1/x在（0，1）上为减函数

满意加分

Answer 1

设0<x1<x2<1,则：
f(x2)-f(x1)
=(x2+1/x2)-(x1+1/x1)
=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)
=(x2-x1)(1-1/(x1x2))
因为0<x1<x2<1
所以x2-x1>0,1/(x1x2)>1，所以f(x2)-f(x1)<0
f(x)在(0，1)为减函数

Answer 2

任取X1 X2 属于（0，1）则有 f(x2)-f(x1)=x2-x1+1/x2-1/x1 通分为{（x2×x1-1)(x2-x1)}/(x2×x1)
因为x1×x2小于1，所以这整个式子小于0，则该函数为减函数

Answer 3

设a，b∈(0,1),且b>a
f(b)-f(a)
=b+1/b-a-1/a
=(b^2+1)/b-(a^2+1)/a
=[a(b^2+1)-b(a^2+1)]/ab
=[ab(b-a)-(b-a)]/ab
=(ab-1)(b-a)/ab
因为b>a,且a,b∈(0,1)
所以(b-a)/ab>0，ab<1
所以ab-1<0
所以(ab-1)(b-a)/ab<0
所以f(x)=x+1/x在(0,1)上是减函数