Question

高一数学 函数问题，求解。

设函数f（x)=∣x^2-4x-5∣.当k＞2时，求证：在区间【-1,5】上，y=kx+3k 的函数图像位于函数 f（x) 图像的上方。 最好有解题思路和方法，谢谢高人指点！

Answer 1

在区间【-1,5】上，x^2-4x-5<=0，所以，f（x)=∣x^2-4x-5∣=-x^2+4x+5
设g(x)=kx+3k-f(x)=kx+3k+x²-4x-5=x²+(k-4)x+3k-5
若在区间[-1,5]上，y=kx+3k的图像位于函数F（x）= -x²+4x+5图像的上方
则在区间[-1,5]上，g(x)恒大于0
即g(x)=x²+(k-4)x+3k-5>0

当-(k-4)/2<-1时，即k>6时，
g(x)的最小值为g(-1)=1-k+4+3k-5=2k>0
∴k>6时, g(x)≥g(-1)>0

当-1≤-(k-4)/2<1时，即2<k≤6时，
g(x)的最小值为g(-(k-4)/2)=(-k²+20k-36)/4>0
∴2<k≤6时，g(x)≥g(-(k-4)/2)>0

∴当k>2时,在区间[-1,5]上，g(x)>0
∴在区间[-1,5]上，y=kx+3k的图像位于函数F（x）= -x²+4x+5图像的上方

Answer 2

因为k>2，在区间【-1，5】
所以y是递增，最小值为y=2k>4，在x= -1处取得
因为F（x）= /-x2+4x+5/对称轴为2
所以为对称函数 最大值为8，在x=2处取得
因为当x= -1时，F=0小于y
当X=2时，y＞10大于F
即证