Question

一道数学三角函数题，求高手解答。

在三角形ABC中，若sinA + sinB =sinC(cosA + cosB ).
1）判断三角形的形状
2）在上述三角形中，若角C的对边c=1，求该三角形内切圆半径的取值范围。

第一问我会做，第二问没思路，请帮忙写出详细步骤。

Answer 1

在三角形ABC中，若sinA + sinB =sinC(cosA + cosB ).
1）判断三角形的形状
2）在上述三角形中，若角C的对边c=1，求该三角形内切圆半径的取值范围
解：1).由sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)得：
2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=sinC{2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
2cos[(A-B)/2]{sin[(A+B)/2]-sinCcos[(A+B)/2]=0
若cos[(A-B)/2]=0，则(A-B)/2=π/2，A-B=π，而这是不可能的，故cos[(A-B)/2]≠0；
因此必有sin[(A+B)/2-sinCcos[(A+B)/2]=sin(π/2-C/2)-sinCcos(π/2-C/2)
=cos(C/2)-sinCsin(C/2)=cos(C/2)-2sin²(C/2)cos(C/2)=cos(C/2)[1-2sin²(C/2)]=0
cos(C/2)≠0，故必有1-2sin²(C/2)=0，sin²(C/2)=1/2，sin(C/2)=√2/2，C/2=45°，C=90°。
即△ABC是RT△，C是直角。
2)在上述RT△ABC中，A+B=90°,C=90°，角C的对边c是斜边，若斜边c=1，则其外接圆的
直径D=c=1，故内切圆半径r=2Dsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)= 2sin(A/2)sin[(90°-A)/2]sin45°
=(√2)sin(A/2)sin(45°-A/2)=sin(A/2)[cos(A/2)-sin(A/2)]=(1/2)sinA-sin²(A/2)=(1/2)sinA-(1-cosA)/2
=(1/2)(sinA+cosA-1)=(1/2)[sinA+sin(90°-A)-1]=(1/2)[2sin45°cos(A-45°)-1]
=(1/2)[(√2)cos(A-45°)-1]
∵-45°<A-45°<45°，∴(√2)/2<cos(A-45°)<1，1<(√2)cos(A-45°)<√2，0<(√2)cos(A-45°)-1<√2-1
0<(1/2)[(√2)cos(A-45°)-1]<(1/2)(√2-1)
即0<r<(√2-1)/2，这就是RT△ABC在斜边c=1的条件下，其内切圆半径r的取值范围。
注：推导过程中直接引用了任意三角形内切圆半径r的计算公式：r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),
其中R为其外接圆半径。此公式的证明请另找参考书看一下。

Answer 2

第一问我就不再赘述了
第二问
直角的内切圆半径r=1/2*(a+b-c)------->这个画个辅助图利用切线长相等定理就容易证得
所以问题就转为r=1/2*(a+b-1) 在条件a^2+b^2=1 且a>0, b>o下的取值问题
用图形法可以容易求得r∈(0,根号2/2-1/2]
希望我可以给你点帮助，望采纳，谢谢！