Question

四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形, E、F分别是棱PD、PC上的点, 且PE=2ED。。。呃，一道数学题……

四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形, E、F分别是棱PD、PC上的点, 且PE=2ED, 求证:BF∥平面AEC的充要条件是点F为棱PC的中点。
就是这样，我已经挠了脑袋一个晚上了……还没挠出来。。求帮忙

Answer 1

我来帮你一下，
1，已知F是PC中点，取PE中点M，连结MF，连结AC和BD交于O，连结OE，BM，
MF是△PEC中位线，MF//CE，
四边形ABCD是平行四边形，则对角线互平分，O是BD中点，PE=2DE，PM=EM=DE，
OE是△DBM中位线，
OE//BM，
BM∩MF=M，
OE∩CE=E，
∴平面MFB//平面CEO（平面AEC），
BF∈平面MFB，
∴BF//平面AEC。
2、已知BF//平面AEC，
与前相同，取PE中点M，OE是△DMB中位线，OE//MB，
OE∈平面AEC，
故BM//平面AEC，
MB∩BF=B，
故平面BMF//平面AEC，
MF∈平面BMF，
故MF//平面AEC，
平面PDC∩平面AEC=EC，
故MF//CE，
在△PEC中。M是PE中点，MF//CE，故MF是△PEC中位线，
∴F是PC中点。