Question

若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是多少？

Answer 1

设 t=√(xy)，则
t^2=xy=2x+y+6>=2√(2xy)+6=2√2*t+6
所以，t^2-2√2*t-6>=0，
(t-3√2)(t+√2)>=0，
因为t为正数，所以，t>=3√2，
t^2>=18，
即 xy>=18，
所以，xy的最小值为18。（当x=3，y=6时取最小值）

Answer 2

正实数x,y满足2x+y+6=xy
∵2x+y≥2√2xy
∴2√2xy+6≤xy
∴xy-2√2xy-6≥0
∴√xy≥3√2或√xy≤-√2﹙舍﹚
∴xy≤18
则xy的最小值是18。

Answer 3

解这道题要用到“两个数的算数平均数不小于两个数的几何平均数”公式。也就是（a+b)/2>=(ab)^1/2（就是a和b的算术平方根）。
解：（2x+y)/2>=[(2x)*y]^1/2(两边乘2得）
：2x+y>=2[(2x)*y]^1/2（两边再加上6得）
2x+y+6>=2[(2x)*y]^1/2+6（把2x+y+6=xy代入得）
xy>=2[(2x)*y]^1/2+6(移项整理得）
xy-2[(2x)*y]^1/2-6>=0,设Z＝（xy）^1/2(xy的算术平方根）得
Z^2-2*2^1/2Z-6>=0
当：Z^2-2*2^1/2Z-6=0时求得Z1=3*2^1/2,Z2＝-2^1/2
二次项系数大于零可知抛线开口向上，得，Z>＝3*2^1/2,Z＝<-2^1/2
即（xy）^1/2>＝3*2^1/2。（xy）^1/2＝<-2^1/2（两个正数的平方根不可能是负数所以舍去）
（两边平方得）：xy>=9*2=18
所以，xy的最小值是18.