Question

已知偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称 且x∈[3,4]时,f(x)=2x-1 当x属于[14,15]时，f(x)的解析式

已知偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称 且x∈[3,4]时,f(x)=2x-1 当x属于[14,15]时，f(x)的解析式 怎么做啊 怎么看出这是周期函数 出了用周期有没有别的办法

Answer 1

偶函数
f(x)=f(-x) （1）
图像关于x=1对称，
f(1-x)=f(1+x)
将x用x+1代替
f(-x)=f(2+x) （2）
由（1）（2）
所以 f(2+x)=f(x)
所以f(x)是周期函数
x属于【14,15】，x-18属于【-4，-3】，18-x属于【3,4】
f(x)=f(x-18)=f(18-x)=2(18-x)-1=35-2x

Answer 2

先画图

Answer 3

是偶函数，还有关于x=1对称推出来的，周期函数，周期是2 f(x)在（13,14）是2x-1在找关于x=1对称，就到区间（14，15）上了，解析式也就出来了

Answer 4

引理(也是个定理来的)
对于一切函数
若对称轴为x=a 和x=b
那么它的周期为2倍绝对值(a-b)
证:(假设a>b)
由对称性有f(x+2a)=f(-x) f(x+2b)=f(-x)
f(2a-2b+x)
=f(2a+(x-2b))
=f(2b-x)
=f(x)
所以周期为2(a-b)
b>a证法是一样的

由对称轴为x=0(偶函数)
得f(-x)=f(x)
那么令x属于[-4,-3] 那么-x属于[3,4]
那么f(-x)=-2x-1=f(x)
那么由周期为2(用上面的东西)
得x属于[14,15]时 f(x)=-2x-1

追问

很好啊，可是为什么结果不太对呢？还是非常感谢了

Answer 5

关于直线x=1对称，x轴上关于x=1对称的点x,x1满足（x+x1)/2=1
因为f(x)=f(x1)所以f(x)=f(2-x）=f(x-2）（偶函数）可得周期为2
后就好做了