Question

如图,△ABC内接于圆o，AB=AC，CD平分∠ABC交圆O于点D，交AB于点F，连接AO并延长交CD于点E（1）求证：AD=DE

(2)过A作AH⊥CD，若AH=4，AE=5，求S△ADE的面积

Answer 1

如图。

AE经过等腰三角形ABC的外接圆圆心O，而A是等腰三角形的顶角，那么AE是<BAC的平分线

<DAE=<DAB+1/2<BAC

另外 ，<AED=<ACE+<1/2<BAC(三角形的外角等于两个不相邻的外角之和）

       而，CD是<ACB的平分线，<ACE=<DCB=<DAB(同弧上的圆周角相等）

  所以，<AED=<DAB+1/2<BAC=<DAE

从而三角形DAE是三角形

 AD=DE

2）

设<AED=α

那么。sin α=4/5   cos α=3/5

则，tan α=4/3

设AE边上的高是h,由于AD=DE，那么这条高平分底边AE。于是h=1/2AE tanα=5/2*4/3=10/3

△ADE的面积S=1/2*AE-h=1/2*5*10/3=25/3

Answer 2

(1)证明:AB=AC,则弧AB=弧AC,得OA平分∠BAC,∠FAE=∠CAE;
CD平分∠ACB,则:∠ACE=∠BCD=∠BAD.
故∠ACE+∠CAE=∠BAD+∠FAE,即∠AED=∠EAD,得AD=DE.
(2)解:AH垂直CD,则EH=√(AE^2-AH^2)=3.
设DH=X,则DE=3+X=DA.
DH^2+AH^2=DA^2,即X^2+16=(3+X)^2, X=7/6,DE=3+7/6=25/6.
所以,S△ADE=DE*AH/2=(25/6)*4/2=25/3.