Question

已知函数f(x)=x+(16/x)，判断f(x)在（0，正无穷）上的单调性并加以证明。

（1）判断f(x)在（0，正无穷）上的单调性并加以证明。
（2）f(x)的定义域，值域。

Answer 1

（1）
f(x)=x+(16/x)在(0,4)上递减，在（4，正无穷）上递增
证明：设X1,X2为（0，4）上任意实数且X1<X2
则X1-X2<0
f(X1)-f(X2)
=X1-X2 + 16/X1-16/X2
=X1-X2 + 16(X2-X1)/X1X2
=(X1X2-16)(X1-X2)/X1X2.
因为X1X2-16<0,X1-X2<0,X1X2>O
所以 f(X1)-f(X2)>0，即 f(X1) < f(X2)
所以 f（X）在区间（0，4）上是减函数
同理可证在 f（X）在（4，正无穷）上是增函数
（2）定义域为 x∈R且x≠0
由（1）知f(x)在（0，正无穷）的最小值为f(4)=8，所以取值范围是 [8，正无穷）
同理可知f(x)在（负无穷，0）的最大值为f(-4)=-8，所以取值范围是 (负无穷，-8]
所以值域是 (负无穷，-8]∪[8，正无穷）