Question

高二数学题（直线系与对称问题） 求解 急~~~~~~~~~~

要步骤和这类型题目的方法
1.求直线2x-y+3=0关于直线x-y+1=0对称的直线的方程
2.经过A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行的直线方程
3.经过B（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程
4.已知点A（-3，5），B（2，15），试在直线3x-4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|最小，求出最小值
谢谢！！！！！！！！！！

Answer 1

1. 设对称直线上有一点A(x, y)
对应的直线L1：2x-y+3=0上有一点B(x', y')
则2x'-y'+3=0 (1)
则中点M((x+x')/2, (y+y')/2)在直线L2：x-y+1=0上
即x+x'-y-y'+2=0
x'-y'=y-x-2 (2)
且AB垂直于直线L2(y=x+1)，L2的斜率k2=1
则(y-y')/(x-x')*1=-1 即x'+y'=x+y (3)
(2)+(3) x'=y-1
(3)-(2) y'=x+1
代入(1) 2(y-1)-(x+1)+3=0
即x-2y=0
2. 直线变为y=-4x+2
斜率k=-4
其平行线的斜率也为k=-4
所以方程为y-2=-4(x-3)
即4x+y-14=0
3. 直线变为y=-2x+5
斜率为k=-2
其垂线的斜率k'=-1/k=1/2
方程为y-0=(1/2)(x-3)
即x-2y-3=0
4. A,B在直线3x-4y+4=0的同侧
设A关于直线的对称点A'(m,n)
直线化为y=(3/4)x+1，斜率k=3/4
AA'的中点M((m-3)/2, (n+5)/2)在直线上
则3(m-3)/2-2(n+5)+4=0 即3m-4n-21=0 (1)
AA'与直线垂直
则(n-5)/(m+3)=-1/(3/4) 即4m+3n-3=0 (2)
联立(1)(2)解得m=3, n=-3
即A'(3,-3)
因IPAI+IPBI最小=IA'BI=√[(2-3)²+(15+3)²]=√(1+324)=5√13
A'B的斜率k'=(15+3)/(2-3)=-18
方程为y+3=-18(x-3) 即18x+y-51=0 (3)
与直线3x-4y+4=0 (4)
(3)(4)联立解得x=8/3, y=3
所以P(8/3, 3)

Answer 2

1，直线2x-y+3=0 和直线 x-y+1=0的交点是A（-2.-1），那么所求的直线也经过点A
设所求直线为y+1=k(x+2) 那么，前二条直线的夹角和后二条直线的夹角相等
2x-y+3=0的斜率是 k1=2 x-y+1=0的斜率k=1
它们的夹角的正切值是
（ k1-k）/（1+k1*k)=(2-1)/(1+2)=1/3
于是有，(1-k)/(1+k)=1/3
3-3k=1+k 4k=2 k=1/2
所以所求的直线是 y+1=1/2(x+2)
即 x-2y=0
2)
与直线4x+y-2=0平行的直线方程可以是
4x+y+C=0,点A(3,2)在此直线上，所以 12+2+C=0
C=-14
所求的直线是 4x+y-14=0
3) 直线2x+y-5=0的斜率是 k=-2
与直线2x+y-5=0垂直的直线，其斜率k‘=-1/k=1/2
直线方程为 y=1/2x+b
点B(3,0)在此直线上。b=-3/2
所以，所求的直线是 y=1/2x-3/2
即 x-2y-3=0
4)
当A,P,B三点共线时，|PA|+|PB|最小
直线AB的方程为
(y-5)/(15-5)=(x+3)/(2+3)
(y-5)/10=(x+3)/5
y-5=2x+6
2x-y+11=0
P点是AB与3x-4y+4=0的交点
那么有
5x+40=0 x=8
y=7
所求的点P坐标为（8，7）
最小值就是AB的长度
|AB|=√25+100=15