Question

求证：函数f(x)=（1+x）/ 根号下x 在（1，正无穷）上是增函数

Answer 1

解：设X1>X2,且X1>1，X2>1，
则：F(X1)＝（1+X1）/根号下X1，F(X2)＝（1+X2）/根号下X2
那么：F(X1)-F(X2)＝（1+X1）/根号下X1－（1+X2）/根号下X2
＝（1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1/根号下X1X2
而：(1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1＝X2（1+X1）的平方－X1（1+X2）
的平方/（1+X1）根号下X2+（1+X2）根号下X1
X2（1+X1）的平方－X1（1+X2）的平方＝X2（1+2X1+X1的平方）—X1（1+2X2+X2的天方）＝X2+2X1X2+X2×X1的天方－X1－2X1X2－X1×X2的天方＝（X1－X2）（X1X2－1）
因为：X1>X2，所以（X1－X2）>0；X1>1，X2>1，所以（X1X2－1）>0，
即： （X1－X2）（X1X2－1）>0，X2（1+X1）的平方－X1（1+X2）的平方>0,
因为：X1>1，X2>1，则：（1+X1）根号下X2+（1+X2）根号下X1>0
所以：(1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1>0

因为：X1>1，X2>1，则：根号下X1X2>0
所以:（1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1/根号下X1X2>0，
也就是：（1+X1）/根号下X1－（1+X2）/根号下X2>0,
即:F(X1)-F(X2)>0
所以:函数f(x)=（1+x）/ 根号下x 在（1，正无穷）上是增函数。

Answer 2

证明
函数f(x)=(1+x)/(√x)
其中x∈(1, +∞).
可设1＜a＜b
f(a)-f(b)
=[(1+a)/(√a)]-[(1+b)/(√b)]
=[(√b)+(a√b)-(√a)-(b√a)]/√(ab)
=[(√b-√a)-(√b-√a)(√(ab))]/√(ab)
=(√b-√a)[1-√(ab)]/√(ab)
∵1＜a＜b
∴√b-√a＞0,且√(ab)＞0
同时,ab＞1
∴√(ab)＞1
∴1-√(ab)＜0
∴f(a)-f(b)＜0
由此可知
当1＜a＜b时,恒有f(a)＜f(b)
∴由单调性定义可知
在(1, +∞)上,函数f(x)递增.

Answer 3

设1<x1<x2
则√x2>√x1 即√x2-√x1>0
由√x1>1 √x2>1
得√(x1x2)>1 即√(x1x2)-1>0
则f(x2)-f(x1)=(x2+1)/√x2-(x1+1)/√x1
=[√x1(x2+1)-x2√(x1+1)]/√(x1x2)
=[(√x1-√x2)+x2√x1-x1√x2]/√(x1x2)
=[√(x1x2)*(√x2-√x1)-(√x2-√x1)]/√(x1x2)
=(√x2-√x1)[√(x1x2)-1]/√(x1x2)
>0
所以f(x2)-f(x1)>0
即f(x2)>f(x1)
所以函数f(x)是增函数
得证

追问

[√x1(x2+1)-x2√(x1+1)]/√(x1x2) 如何到=[(√x1-√x2)+x2√x1-x1√x2]/√(x1x2)

追答

这一步只是乘法，调了位置而已。哦，把根号写到后面了。
=[√x1*(x2+1)-√x2*(x1+1)]/√(x1x2)
=[(√x1-√x2)+x2*√x1-x1*√x2]/√(x1x2)
=[√(x1x2)*(√x2-√x1)-(√x2-√x1)]/√(x1x2)
=(√x2-√x1)[√(x1x2)-1]/√(x1x2)
>0