Question

已知四棱锥P-ABCD中底面是边长为2的菱形，且∠ABC=60，PA=PC=2，PB=PD. (1)若O是AC与BD的交点，

求证：PO⊥平面ABCD
（2）若点M是PD的中点，求一面直线AD与CM所成交的余弦值

Answer 1

(1)连结PO
因为四棱锥P-ABCD中底面是菱形，所以AO=CO，BO=DO
又因为PA=PC，PB=PD，所以AO⊥AC，AO⊥BD
所以PO⊥平面ABCD（等腰三角形三线合一）

(2) 连结BD AC 交于点O ，连结OP 过M做ME‖AD交PA于E
连结EM
因为M是PD中点
所以E为PA中点且EM=1/2AD
因为四边形ABCD为菱形 所以AB=BC=CD=AC=2
又因为PA=PC=2
所以 AB=BC=CD=AC= PA=PC=2
AB=BC=2 角B=60°
所以ABC为等边三角形
可得BO=OD=根号3AC=2
PCD为等腰三角形（等腰三角形我就直接用了PD不等于PC所以不是等边）
因为M是PD中点所以CM为PD的垂直平分线
直角三角形POC中 PC=2 OC=1
所以OP=根号3
所以直角三角形POD中PD=根号6
做到这里你应该会了 把EMC三条边都求出来 结果符合勾股定理逆定理
（EM=1/2AD=1,三角形CMD为直角三角形CM=1/2根号2，AC=AP=PC=2 CE垂直AP CE=根号3）
三角形EMC为直角三角形 角emc=90°
因为em平行AC
所以所求的角为角EMC即为90°cos90°=0