Question

数列[an]满足：na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(9/10)^(n-1)+(9/10)^(n-2)+…+9/10+1(n=1,2,3,…,)

1)求an的通项公式；（2）若bn=-(n+1)an,试问是否存在正整数k,使得对于任意的正整数n,都有bn≤bk成立？证明你的结论

Answer 1

1）解：令T(n) = n*a(1)+(n-1)*a(2)+…+2*a(n-1)+a(n) ------ (*)
又由于 T(n) =(9/10)^(n-1)+(9/10)^(n-2)+…+9/10+1，利用等比公式前n项和公式，有
T(n) = (1-(9/10)^n)/(1-9/10) = 10*(1-(9/10)^n) ------ (**)
在（*）中，T(n-1) = (n-1)*a(1) + (n-2)*a(2) +...+ 1*a(n-1)
于是 T(n) - T(n-1) = a(1) + a(2) + ...+a(n-1) + a(n) = S(n) 即a(n)的前n项和
利用（**）可知S(n) = 10*(1-(9/10)^n) - 10*(1-(9/10)^(n-1) = (9/10)^(n-1)
因此a(n) = S(n) - S(n-1) = (9/10)^(n-1) - (9/10)^(n-2) = (-1/9)*(9/10)^(n-1)，(n>1)，而a(1) = S(1) = 1不满足条件，（所以写的时候，分开写）

2）b(n) = [(n+1)/9]*(9/10)^(n-1)， n>1，b(1) = 2a(1) = 2
题目中就是想问是否存在一个最大项。根据b(n) 的通项公式，其实可以初步判断这是一个单调递减的数列(当n足够大的时候，因为指数比幂函数要跑的快）
假设存在这样的k，那么必然有b(k) >= b(k-1) 且b(k) >= b(k+1) 可解得0<k<=9，因此存在正整数k=9，满足条件。