Question

一道高中数学题：如图所示：

Answer 1

令f(t)=lnt +1/t -1 ，x>1
f'(t)= 1/t -1/t^2 =1/t (1- 1/t) >0
所以f(t)是增函数
f(t)>f(1)=0 即lnt +1/t -1>0
∴lnt >1- 1/t
分别令t=2，3/2，4/3，……，x/(x-1)
ln2 > 1- 1/2 =1/2
ln3/2 >1- 2/3 = 1/3
ln4/3 >1- 3/4 =1/4
……
ln[x/(x-1)] >1- (x-1)/x =1/x
各式相加：lnx > 1/2 +1/3 +1/4 +……+1/x

【思路小结：不等式右边是和的形式，所以想到把左边也变成和的形式。
通过构造函数来证明一个不等式，再令自变量取不同的值，最后求和得到所要证明的式子】

Answer 2

设f(x)=lnx，图像上有一点A(x, lnx)和B(x-1, ln(x-1))
f'(x)=1/x
过点A的切线L的斜率k=1/x
而AB的斜率k'=[lnx-ln(x-1)]/(x-x+1)=lnx-ln(x-1)
不难发现：AB的倾角大于L的倾角，即k'>k
所以lnx-ln(x-1)>1/x
推得ln(x-1)-ln(x-2)>1/(x-1)
ln(x-2)-ln(x-3)>1/(x-2)
.............
ln2-ln1>1/2
叠加lnx-ln1>1/2+1/3+...+1/x
所以lnx>1/2+1/3+.....+1/x

Answer 3

这道题可以用数学归纳法证明 或者不等式累加
你在看一眼题 问下有没有问题
我觉得少一项 如果没有问题我就写过程

Answer 4

证明:
由"尤拉公式"可知,
1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)=(lnn)+γ. (γ≈0.577,,,,.γ称尤拉常数)
∴(lnn)-[(1/2)+(1/3)+...+(1/n)]=1-γ＞0.
∴lnn＞(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/n)

Answer 5

x=1就不成立