Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x属于（0,1）时，f（x）=2的x次方除以4的x次方

Answer 1

是这个题吧：
定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=2的X次方/（4的X次方+1）
（1）求f(x)在（-1,1）上的解析式
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性，并给予证明

【解】
f(x)=(2^x)/(1+4^x)
1）因为是奇函数，所以f(0)=0，
-1<x<0时，0<-x<1,所以f(-x)=(2^(-x))/(1+4^(-x))=(2^x)/(1+4^x)
因为f(-x)=-f(x),所以，f(x)=-(2^x)/(1+4^x) ,
综上所述，f(x)=-(2^x)/(1+4^x) ，-1<x<0时
f(x)= (2^x)/(1+4^x) ，0<x<1时
f(x)= 0 ，x=0时
2) f(x)在(0,1)上单调递减
设0<a<b<1,则，
f（a）-f(b)=(2^a+2^a*4^b-2^b-2^b*4^a)/(1+4^a)(1+4^b)
因为分母恒大于0，所以判断分子符号：
2^a+2^a*4^b-2^b-2^b*4^a
=2^a-2^b+2^a*4^b-2^b*4^a
=2^a-2^b+2^(a+b)*(2^b-2^a)
=(2^b-2^a)*(2^(a+b)-1)
0<a<1,0<b<1,
所以a+b>0,2^(a+b)>1,
又2^a<2^b,所以f(a)-f(b)>0
所以函数单调递减。