Question

关于行列式的题目

一、D=3 0 4 0；2 2 2 2；0 -7 0 0；5 3 -2 2的第四行元素的代数余子式之和的值是什么？
二、f（x）=x-2 x-1 x-2 x-3；2x-2 2x-1 2x-2 2x-3；3x-3 3x-2 4x-5 3x-5；4x 4x-3 5x-7 4x-3 则方程f（x）=0的根的个数为
详细说明过程，谢谢！

Answer 1

1. 解: 作辅助行列式 D1 =
3 0 4 0
2 2 2 2
0 -7 0 0
1 1 1 1

一方面, 因为D1的2,4行成比例, 故 D1=0
另一方面, 将D1按第4行展开有
D1 = A41+A41+A43+A44
所以 A41+A41+A43+A44 = 0.

因为D与D1第四行元素的代数余子式相同
所以D中第四行元素的代数余子式之和 A41+A41+A43+A44 = 0.

2. 解:
ci-c1,i=2,3,4 [所有列减第1列]
x-2 1 0 -1
2x-2 1 0 -1
3x-3 1 x-2 -2
4x -3 x-7 -3

c4+c2
x-2 1 0 0
2x-2 1 0 0
3x-3 1 x-2 -1
4x -3 x-7 -6

f(x) = [(x-2)-(2x-2)][-6(x-2)+(x-7)]
= -x(-5x+5)
= 5x(x-1).

f(x)有2个根: 0 和 1.